Доказательство

СОДЕРЖАНИЕ
Введение                                                                                                         3
1.Что  такое доказательство                                                                          5
2. Прямое доказательство                                                                             6                   
3. Косвенное  доказательство                                                                       7
 
     3.1. Следствия, противоречащие фактам                                               8
    
     3.2. Внутренне противоречивые следствия                                           9
     3.3. Разделительное доказательство                                                       10
4. Опровержение                                                                                           12
5. Ошибки  в доказательствах                                                                      13
     5.1. Формальное несовершенство                                                           14
     5.2. Ошибки  в отношении тезиса                                                           14
     5.3. Ошибки в отношении аргументов                                                   15
Заключение                                                                                                    17
Список используемой литературы                                                              19
ВВЕДЕНИЕ
      Логика – это наука о законах и операциях правильного мышления. Трудно найти более многогранное и сложное явление, чем человеческое мышление. Всякое движение нашей мысли, постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы.
     Логика – одна из самых старых наук. Ее богатая событиями история началась еще с Древней Греции и насчитывает две с половиной тысячи лет.
     В конце прошлого- начале нынешнего века в логике произошла научная революция, в корне изменившая сам стиль ее рассуждений и ее методы и придавшая этой науке как бы второе дыхание. Теперь логика – одна из наиболее динамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.
     Говорить о логике и легко, и одновременно сложно. Это относиться и к усвоению логики, особенно если человек сталкивается с этой наукой впервые. Легко потому, что ее законы лежат в основе нашего мышления. Интуитивно они известны каждому. Всякое движение мысли опирается на эти законы и без них невозможно. В этом смысле логика общеизвестна.
     Объекты и проблемы, рассматриваемые в логике, являются довольно своеобразными и абстрактными. Чтобы уяснить тот или иной логический парадокс или закон, одно и то же место, оставшееся непонятным при первом чтении, нужно прочесть, нужно прочесть дважды, а то и трижды и лишь потом двигаться дальше. Только понимание каждого шага проводимого рассуждения может дать понимание рассуждения в целом.
     Тема доказательства занимает в курсе логики  особо важное место. В ней объединяются все логические формы мышления, применяются все правила и законы, обеспечивающие  логическую стройность и последовательность мысли. Здесь концентрируются все теоретические и практические выводы логики, наиболее полно выражаются ее познавательные возможности и задачи.
 Задача данной контрольной работы – изучить:
1. Что  такое доказательство;
2. Какие виды доказательств существуют, в чем их  сущность;
3. Что такое опровержение;
3. Какие ошибки можно допустить в доказательствах;

1. ЧТО ТАКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
     Доказательство определяется как процедура обоснования истинности некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует, другими словами доказательство - это логическое рассуждение, в процессе которого подтверждается или опровергается  истинность какой-либо мысли с помощью  других положений, проверенных практикой.
     Основу доказательства составляют следующие положения:
1. Тезис.
2.Аргументы.
3.Демонстрация.
Тезис — это суждение, истинность которого надо доказать. Аргументы — это те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса. Формой доказательства, или демонстрацией, называется способ логической связи между тезисом и аргументами.
       Понятие доказательства всегда предполагает указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства.
   Путем доказательства совершается  переход от вероятного, недостоверно-
го знания к достоверному. Его назначение - служить  сверкой теоретических положений и выводов с реальной действительностью.
     Формально-логическое  доказательство  не  исчерпывает всей полноты этой сверки. Она  достигается  целой  системой  средствнаучного  познания. Исследование любой проблемы само по себе доказательно, так как осуществляется в соответствии с природой вещей и тенденцией их развития. Поэтому доказательство можно более полно определить как процесс установления объективной истины посредством практических и теоретических действий и средств.
     Доказательство в формальной  логике  представляется не как установление объективной истинности путем практических действий и теоретических средств, а как выведение одних  истин из других, уже обоснованных, как установление логической связи между суждениями, отражающими явления предметного мира. Формальную  логику принято характеризовать как науку о выводном знании, о рассуждении, объяснении; логической  стороной  объяснения служит доказательство.
     Тысячелетний  опыт  убеждает человека в том, что обоснованность, доказательность есть отражение одной из самых общих, фундаментальных закономерностей  объективного мира – универсальной связи и взаимообусловленности всех явлений. Поэтому и наши мысли о предметах, их свойствах и отношениях должны находиться во взаимной связи  между собой. Способность  правильно и доказательно строить  логически необходимую связь мыслей в процессе рассуждения представляет  чрезвычайно важное свойство человеческого сознания.
     Доказательством в логике является  всякое  выведение одних истин из других, уже известных, путем  установления  логической связи между ними. Характерным признаком  доказательства  служит приведение достаточного основания для  подтверждения  истинного или опровержения ложного суждения. Всякое умозаключение в  этом смысле есть доказательство, ибо в каждом  из  них вывод с достаточным основанием вытекает из посылок.
2. ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
     При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получается тезис.
     Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.
В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех, признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.
Еще пример. Нужно доказать, что космические корабли подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: им подчиняются все тела в любых точках космического пространства. Очевидно также, что космический корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соответствующее дедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемого утверждения.
3. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
     Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.
     В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.
     Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.
     Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.
     Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они могут обладать особенной убедительностью.
     Итак, ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем, что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать несостоятельность его отрицания. В зависимости от того, как решается последняя задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.
3.1. СЛЕДСТВИЯ, ПРОТИВОРЕЧАЩИЕ ФАКТАМ
       Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами.
     Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский ученый Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой.
Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а значит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.
3.2. ВНУТРЕННЕ ПРОТИВОРЕЧИВЫЕ СЛЕДСТВИЯ
     По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.
     Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, поскольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов.
     Ложным будет также положение, из которого выводится внутренне противоречивое высказывание или высказывание о тождестве утверждения и отрицания.
     Один из приемов косвенного доказательства — выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис доказательства — верно.
Хорошим примером такого рассуждения служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен.
Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11,13,... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •... • А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен.
     В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.
Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откровенная нелепость.
Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.
Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если из ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.
К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, выведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти.
3.3. РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
     Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.
     Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.
     Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны.
     Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтернативы — тезис и антитезис — исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.
    
     Заканчивая разговор о косвенных доказательствах, обратим внимание на их своеобразие, ограничивающее в известной мере их применимость.
    Нет сомнения, что косвенное доказательство представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна.
4. ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Опровержение логическая операция, направленная на разрушение доказательства путем установления ложности или необоснованности ранее выдвинутого тезиса.
     Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называются аргументами опровержения.
    Существуют три способа опровержения тезиса: 1) опровержение (прямое и косвенное); 2) критика аргументов; 3) выявление несостоятельности демонстрации.
     1.Опровержение тезиса (прямое и косвенное). Их три способа:
а)опровержение фактами - должны быть приведены действительные события, явления, статистические данные, результаты  эксперимента, научные данные, которые противоречат тезису, то есть опровергаемому суждению;
б)установление ложности (или противоречивости) следствий, вытекающих из тезиса - доказывается, что из данного тезиса вытекают следствия, противоречещие истине, этот прием называется “сведение к абсурду”;
в)опровержение тезиса через доказательство онтитезиса - по отношению к опровергаемому тезису (суждению а) выдвигается противоречащее ему суждение (то есть не-а) и суждение не-а (антитезис) доказывается, если антитезис истинен, то тезис ложен, третьего не дано.
     2.Критика аргументов.
Подвергаются критике аргументы, которые были выдвинуты оппонентом в обоснование его тезиса. Доказывается ложност или несостоятельность этих аргументов.
     3.Выявление несостоятельности демонстрации.
Этот способ опровержения состоит в том, что показывает ошибки в форме доказательства. Наиболее распространённой ошибкой являетсяподбор таких аргументов, из которых истинность опровергаемого тезиса не вытекает. Доказательство может быть построено неправильно если нарушено какое-либо правило умозаключения или сделано “поспешное обобщение”.
Обнаружив ошибки в ходе демонстрации, мы опровергаем её ход, но не опровергаем сам тезис. Доказательство же истинности  тезиса должен дать тот, кто его выдвинул.
5. ОШИБКИ  В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ
     Ошибка в доказательстве – вещь довольно обычная. Проводя доказательства, мы опираемся на нашу логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило оно нас не подводит. Но в отдельных случаях оно может оказаться ненадежным.
     Наше логическое чутье и наши навыки доказательства не так безупречны, как это зачастую кажется. Полезно поэтому не упускать случая, чтобы их усовершенствовать.
     Ясное понимание доказательства предполагает определенное представление о рассуждениях, имеющих форму доказательства, но на самом деле им не являющихся. Такие «несостоявшиеся доказательства» - результат ошибок, допущенных в ходе доказательства. Знакомство с наиболее типичными из них способствует совершенствованию практических навыков доказательства и позволяет лучше понять, что представляет собой «безошибочное» доказательство.
     Доказательство – это логическая, дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в доказательстве можно разделить не относящиеся к тезису, к аргументам и к их свяхи. Последние – это формальные ошибки, ошибки логически ущербного рассуждения, когда тезис не вытекает из аргументов.
5.1. ФОРМАЛЬНОЕ НЕСОВЕРШЕНСТВО
     Ошибки, обычно встречающиеся в доказательствах, самым общим образом можно разделить на относящиеся к содержанию доказательства и относящиеся к его логической форме.
     Содержательная ошибка – это использование в доказательстве ложных посылок. Если хотя бы одна из посылок верна, то  доказательство теряет всякую силу.
     Формальная ошибка имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так и называют – «не вытекает».
     Лучшее средство предупреждения формальных ошибок – изучение теории умозаключения, знание законов логики и совершенствование практических навыков их применения.
5.2. ОШИБКИ В ОТНОШЕНИИ ТЕЗИСА
     Характерная ошибка в отношении тезиса – подмена тезиса, неосознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то  другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.
    Тезис может сужаться, в таком случае он останется недоказанным. Например, для доказательства того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, недостаточно  доказать, что эта сумма не больше 180 градусов. Для обоснования того, что человек должен быть честным, мало доказать, что разумному человеку не следует лгать.
     Тезис может также расширяться. В этом случае нужны дополнительные основания. И может оказаться, что из них вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. «Кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает» - эта пословица как раз и имеет в виду такую опасность.
     Иногда случается полная подмена тезиса. Критикуя одного из ораторов во время дебатов о свободе печати, К.Маркс указывает на подмену им тезиса: «Чтобы действительно оправдать цензуру, оратор должен был бы доказать, что цензура составляет сущность свободы печати. Вместо этого он доказывает, что свобода не составляет сущности человека».
5.3. ОШИБКИ В ОТНОШЕНИИ АРГУМЕНТОВ
     Наиболее частая ошибка – это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.
     Тигры, как известно не летают. Но рассуждение «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать только птицы: летают и многие насекомые, и самолеты и др. С помощью  же посылки «Только птицы летают»  можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.
     Довольно распространенной ошибкой является «круг в доказательстве»: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу.
     Если доказывать, что человек есть разумное животное, тем, что он рассуждать может, и что он рассуждать может – тем, что он есть разумное животное, то это и будет круг в доказательстве.
    
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
     Подводя итоги, можно сказать, что поставленные в контрольной работе задачи, выполнены. В первой главе данной работы дано определение доказательству, далее перечислены виды доказательств и раскрыта их сущность. О доказательстве в логике говорится много, об опровержении только вскользь, хотя опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства, поэтому в этой работе одна из глав посвящена опровержению. И завершает контрольную работу глава, описывающая ошибки, которые встречаются в доказательствах.
      Раскрывая логическую сущность доказательства, мы рассмотрели типичное для формальной логики построение доказательного рассуждения при заранее сформулированном положении с оценкой тезиса в качестве истинного или ложного суждения. Задача доказывающего сводится к подбору достаточных аргументов и выведению из них с логической необходимостью данного тезиса. Такой процесс доказательства преследует либо дидактические цели убеждения (слушателей, читателей) в истинности известного научного положения, либо научную цель проверки суждения, истинность которого еще не установлена.
Логическое доказательство необходимо как в естественных, так и в общественных науках — здесь оно играет еще более важную роль, чем в науках о природе. Если в естествознании решающим доводом служит физический эксперимент и химическая реакция, то в науках, изучающих общественную жизнь, то и другое должна заменить сила абстракции, логическая убедительность доказательства..
   Познавательная и методическая роль доказательства состоит в обеспечении логической обоснованности научных положений, их глубокого усвоения и дальнейшего развития. Эти аспекты доказательного рассуждения необходимы и в научном познании, и в процессе передачи знания другим. Задача обучения прежде всего ставит своей целью прочное и сознательное овладение системой знаний, необходимых в практической деятельности. Логически стройное и доказательное изложение учебного материала повышает культуру логического мышления учащихся, их способность самостоятельно овладевать знаниями и творчески применять их на практике.

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бочаров В.А. Основы логики: Учебник/ Бочаров В.А., Маркин В.И. – М., 1998.
2. Брюшинкин В.Н. Логика: Учебник. – М., 2002.
3. Гетманова А.Д. Логика - М., 1998.
4. Ивин А.А. Логика: - М., 2004.
5. Ивлев Ю.В. Логика - М., 1998.
6. Поварнин С.И. Искусство спора. - М., 1995.