Конус

                                 
Поверхности второго порядка
    Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
1. Эллипсоид.
      Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:                  
    (1)
   Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
   Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
                                         (2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если  > c (c>0), то    и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если  , то   и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости   касаются эллипсоида).
3) Если  , то уравнения (2) можно представить в виде
 
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями   и  . При уменьшении   значения  и  увеличиваются и достигают своих наибольших значений при  , т. е. в сечении  эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается  самый большой эллипс с полуосями   и  .
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2.   Однополосный гиперболоид.
      Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
                         (3)
   Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
   Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
                                   и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
   Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
                     или       (4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями      и   ,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании   величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
3.  Двуполостный гиперболоид.
     Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
                            (5)
   Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
   Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
                                и   
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
     Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
                                  или             (6)
из которых следует, что при   >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями     и   . При увеличении   величины a* и b* тоже увеличиваются.
При      уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с)  (плоскости    касаются данной поверхности).
При    уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид.
    Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

   (7)
где p>0 и q>0.
   Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
   Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями  Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
                                             и  
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
                                     или            (8)
из которых следует, что при   плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями    и  . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
5. Гиперболический параболоид.
     Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
       (9)                 
где p>0, q>0.
     Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
     Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
                                                (10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
                                           
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
                                                
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
                                         
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения
                           или  
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
                                и  
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его  параметрами.
  6.  Конус второго порядка.
      Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
                            (11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
                                  
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
                             и  
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также  получаются две пересекающиеся прямые
                                                     и  
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим
                                              или  
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями   . При  увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).

 

  Рефераты на русском языке - Математика


Яндекс.Метрика